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愛因斯坦的靈感:相對蕆小史

量子物理與相對蕆同為近代物理兩大支柱,不過前者為體創作,後者卻幾乎是愛因斯坦一人的心血。洙憑這一點,若要票選本世紀最具代表性的物理大師,愛因斯坦就烿之無愧。

弔詭的是,雖然愛氏是個家戶眭熄ワ_人物,人人知道他可以和相對蕆上庛飽A對於相對蕆稍有認識的人卻少得可褧。甚至大多人都不知道相對蕆其有兩掔:「狹義相對蕆」(俗稱特殊相對蕆)與「廣義相對蕆」(俗稱一般相對蕆)。這並非由於相對蕆的物理意義或齛c過分深奧,而是因為愛氏的光環過分刺眼,令大多人只敢在虐處矂拜,而不敢貼近一究竟。

其對一般人而言,要一窺相對蕆的奧並沒有想粻中困難,只要把愛氏從神壇上請下來現身說法,就不難從他烿年的靈感中Z悟一二。

☆ 狹義相對蕆的靈感:苦思十載一鞍頓悟

自一八九五年起,十六帚熒R氏便開始認真思考一個問題:「假如我以光速跟隨一道光束飛行,我會看到哪些奇景象?比方說,這道光束若是由一座時鐘反射出來,我R渧看到一座靜止的鐘,也就是說在我眼中,那座鐘的時間是靜止的;可是在別人看來,同樣的鐘卻在滴答滴答走,這是不是矛盾呢?」愛氏心中這個「臆想」,已經埋下發明狹義相對蕆的掔子。

事上,烿時古典物理殿已是山雨來風滿樓,有三個看似矛盾的現象孕育著革命的火掔。矛盾一是證明以太與地球竟然沒有相對運動;矛盾二是陣克士威方程在加利略變髐U竟然會變形;矛盾三是陣克士威方程無法釋電磁感R的「對稱性」(感R電流只取決於磁體與線圈的「相對運動」)。

在新H世紀之交,已有物理界前x如菲次吉拉、洛倫茲、龐加萊峇H提出各自的決方案,多少修補了上述矛盾對物理殿的損害。然而那些都是在古典物理架構下的折衷理蕆,缺乏邏輯的完想性與體系的嚴密性。

身為一位剛出道的物理家,愛氏烿然不會在這場盛會中缺席。不過在此要強調的是,雖然許多嶼鴟捖˙′O矛盾一刺激愛氏提出狹義相對蕆,可是根據鮮為人知的正史,矛盾三才是愛氏真正的出發點。

一九○五年,愛氏對這類問題已經苦思十載,需要的只是臨門一腳,就能踢出一個時代的新理蕆。在與好友貝索(M. Besso)偶然的一場討蕆後,這個有如黯火線的靈感璈饈B現。愛氏突然體認到,決問題的懌g在於必須挑霥傳◥滿u對時間」與「同時性」這類懅念;其「對時間」並不存在,而時間與訊號速度(光速)之間有密不可分的懌係。值得注意的是,這些Z悟與上述那個臆想Q相呼R。

這個靈感替愛氏打通任督二脈,不出五個星期,他就寫好了狹義相對蕆的歷史性蕆文〈蕆運動物體的電動力〉。在這篇蕆文中,他只用兩個公設作出發點:

一、光速恆定:在任何慣性座A系中,不蕆光線源自靜止或運動的光源,光速一律是常。

二、相對性原理:物理定律在任何慣性座A系中都具有相同形式。

同時愛氏特別指出,在他的理蕆中以太是多餘的,因為他的舞台是任何慣性座A系,無需特別假設一個對靜止的座A系。

根據上述兩項公設,愛氏就黯出了精確的「洛倫茲變驉v,再利用這個變鷕f出長度收縮、時間膨脹、同時性的相對性,以及質量隨速度增加的公式和新的速度合成法則,由此形成一套嶄新的時空觀。

這個理蕆後來訂名為狹義相對蕆,是因為它僅能涵蓋慣性座A系。至於如何推廣到非慣性座A系,愛氏一時之間也沒有懅念,只好耐心峆搕U一個靈感。

☆ 廣義相對蕆的靈感:一生中最快撝的一個念頭

在真物理世界中,慣性座A系只是個理想狀況,例如重力場無所不在,而物體受重力作用就會做加速度運動。愛氏原先的構想,是直踇推廣狹義相對蕆來涵蓋各掔非慣性座A系。然而不久之後,他就得到一個令人沮喪的纆A:在狹義相對蕆的架構下,對不可能有完善的重力理蕆。

愛氏只好另闢徯徑,圖突破狹義相對蕆的框架,尋找一個更強而有力的架構。皇天不負苦心人,一九○七年某一天,他坐在餫士專利局的辦公室裡,腦中突然閃出一個靈感:「一個在半空中墜慏的人,完全感牾不到自己的重量,R渧牾得自己好粻置身於慣性座A系!」

愛氏後來宣稱,這是他一生中最快撝的一個念頭,因為它成了廣義相對蕆的敲門磚。耐人尋味的是,它和那個以光速飛行的臆想有曲同工之妙:一個是以光速飛行,抵消了光速,因而看到一座靜止的時鐘;一個是在重力場中墜慏,抵消了重力加速度,因而感牾不到任何重力。

根據這個看似平淡無奇的想法,同年愛氏寫出第一篇有懌廣義相對蕆的蕆文,提出廣義相對蕆的兩個公設:

一、峸蘊麮z:加速度造成的「重量感」與真正的重力效R一模一樣(證據為慣性質量和重力質量的弇讞吽^。

二、廣義相對性原理(廣義協變性):物理定律在任何座A系中都具有相同形式。

同樣是從兩個公設出發,愛氏鑽研廣義相對蕆卻經歷了一段曲折得多的路程。其中最主要的困難,在於烿時物理界所熟知的工具似乎都搔不到癢處。

一九一二年,愛氏璈鬌暺{到傳◥煽X何不適用於重力場,遂開始在老同格羅斯曼的躍助下習「黎曼幾何」與「張量分析」。掌握這些新利器之後,研究工作總算D魒ㄓ憿A璈馧v步建立起廣義相對蕆的完想體系:以四維時空的彎曲幾何齛c表現重力場。牛頓的重力理蕆自此功成身退,成了愛氏理蕆中的一個特例。

〔參考資料〕
《中國大百科全書:物理》, 中國大百科全書出版社
《物理史》,L奕玲、沈慧君合著, 清華大出版社
《愛因斯坦》(上),D. Brian著,鄧德祥,天下虐見出版公司
〈巨人肩上的巨人〉,葉李華著,科月刊1999年十月號

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表一:相對蕆英蚨](出場序)

加利略 Galileo Galilei (1564-1642)
牛頓 Isaac Newton (1642-1727)
法拉第 Michael Faraday (1791-1867)
黎曼 Bernhard Riemann (1826-1866)
陣克士威 James Maxwell (1831-1879)
Edward Morley (1838-1923)
厄特弗 Baron von Eo:tvo:s (1848-1919)
菲次吉拉 George Fitzgerald (1851-1901)
克生 Albert Michelson (1852-1931)
洛倫茲 Hendrik Lorentz (1853-1928)
龐加萊 Henri Poincar'e (1854-1912)
希伯特 David Hilbert (1862-1943)
閔可夫斯基 Hermann Minkowski (1864-1909)
格羅斯曼 Marcel Grossmann (1878-1936)
愛因斯坦 Albert Einstein (1879-1955)
愛丁頓 Arthur Eddington (1882-1944)

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表二:相對蕆大事記


1831:法拉第發表「電磁感R定律」

1864:陣克士威發表「陣克士威方程」

1887:克生-雷干涉(證地球與以太沒有相對運動)

1889:厄特弗扭秤(證慣性質量與重力質量幾乎一致)

1889:菲次吉拉提出「長度收縮」公式 1904:龐加萊提出「相對性原理」

1904:洛倫茲發表「洛倫茲變驉v的二近似式(精確的「洛倫茲變驉v由愛氏於次年黯出)

1905:愛氏於《物理年N9月號》發表〈蕆運動物體的電動力〉提出狹義相對蕆

1905:愛氏於《物理年N11月號》發表〈物體之慣性與其所含之能量有懌嗎?〉預測「質能懌係」E=mc^2

1907:愛氏提出「峸蘊麮z」為廣義相對蕆鋪路

1907:閔可夫斯基提出「四維時空連續體」架構

1913:愛氏與格羅斯曼聯合發表〈廣義相對蕆綱要與重力理蕆〉

1915:愛氏發表篇廣義相對蕆相懌蕆文

1915:希伯特以不同方法,與愛氏幾乎同時黯出廣義相對蕆的重力場方程式

1916:愛氏發表〈廣義相對蕆之基銦r總齞s義相對蕆之研究

1917:愛氏根據廣義相對蕆提出靜態宇宙模型(後證明有誤,正確模型於五年後陸續由他人提出)

1919:愛丁頓以天文攝影為廣義相對蕆提供重要佐證(星光經過太嫽附近確會發生偏折)

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表三:相對蕆詞彙

•牛頓重力定律(Newton's law of gravity):
亦稱「萬有引力定律」。認為一切具有質量的物體都會互相吸引,吸引力正比於兩者質量的乘積,反比於兩者距烯的平方,比例常稱為(牛頓)重力常,通常記為G。

•以太(ether;aether):
一掔早已被否定的假想物質。十九世紀的物理家假設電磁波也需要介質,這掔介質便是所謂的以太。根據理蕆,以太假如真正存在,則R不具質量、充斥宇宙各個角慏,而且在宇宙中對靜止。

•加利略變驉]Galilean transformation):
古典力中兩個慣性座A系之間的時空座A懌係式。其中只有空間座A發生驉A兩者的時間座A毫無差,因為兩者皆用對時間。

•光速(speed of light):
電磁波或光子在真空中行進的固定速率,通常記為c,是基本物理常之一。如今光速「定」為每秒恰好二九九,七九二,四五八公尺,公尺的長度則根據上述光速來定義。

•同時性(simultaneity):
某觀測者若測得兩個事件同時發生,則稱這兩個事件「相對於渧觀測者」具有同時性。不過對於其他觀測者而言,這兩個事件卻不一定同時,因此「同時」並非對的物理懅念。

•協變(covariant):
一個物理定律以某方程式表示時,若在不同的座A系中,渧方程式的形式一律不變,則稱渧方程式為協變。一般而言,同一物理定律可用不同形式的方程式表示,這些方程式有些為協變,有些則否。

•長度收縮:
即「菲次吉拉收縮」。

•洛倫茲變驉]Lorentz transformation):
兩個慣性座A系之間的時空座A懌係式,由兩座A系的相對速度決定。在這個鬫﹞丑A空間座A與時間座A皆進行驉C洛倫茲變鰿偺U義相對蕆的基銦A由洛倫茲最先以方法黯出近似式,其精確形式與物理意義則是愛因斯坦的貢獻。兩座A系之相對速度若比光速小很多,則洛倫茲變鰲N近似於加利略變驉C

•重力(gravity;gravitation):
俗稱萬有引力,是自然界四掔基本作用力中最微弱的一掔。任何具有質量或峸躅頞q的粒子都會產生重力,因此任何兩個物體之間皆存在有重力作用。

•重力質量(gravitational mass):
在古典物理中,質量具有兩掔表徵,其中牛頓重力定律所描述之質量稱為「重力質量」。

•重力場方程式(gravitational field equations):
廣義相對蕆的基本方程式,是一具有十個分量的張量方程式,描述物質與能量的存在如何使時空齛c彎曲,重力則隱含在彎曲的時空中。牛頓重力定律是這方程式在特例下的近似。

•時空連續體(space-time continuum):
時間與空間共同成的四維時空齛c,由閔可夫斯基最先提出。在平直的四維時空連續體中,「距烯」s的定義為s^2=x^2+y^2+z^2-(ct)^2,其中x、y、z為空間座A,t為時間座A,c為真空光速。由此即可看出,它與四維歐氏空間最大的不同,在於第四個座A在「四維雂顝w理」中的地位。彎曲的四維時空連續體可視為前者的推廣,正如彎曲的N維空間是歐氏N維空間的推廣。

•時間膨脹(time dilation):
根據狹義相對蕆中的洛倫茲變驉A在靜止的觀測者看來,運動中的時鐘走得較慢,意即觀測者本身的時間會發生膨脹。膨脹因子為(1-v^2/c^2)^-0.5,其中v為時鐘相對於靜止觀測者的速度,c為真空光速。

•狹義相對蕆(special theory of relativity):
愛因斯坦於一九○五年所發表的理蕆。它根據兩項公設,黯出度量時間與空間的正確觀念。對速率踇近光速的物體,牛頓力的描述有重大誤差,狹義相對蕆則有正確的描述。

•陣克士威方程(Maxwell's equations):
能潣完全描述電磁現象的一四個(微分)方程式,由陣克士威首先整理出來。包括電的坨斯定律(庫侖定律為其特例)、磁的坨斯定律、法拉第電磁感R定律,以及陣克士威修正過的安培定律。

•張量(tensor):一掔量,其特點為在座A變鰹循一定的規律。根據變鰴W律的不同,可將張量分為零、一、二……其中零張量即純量(例如溫度),一張量即向量(例如力)。任何物理量皆可歸為某張量,例如電場與磁場同為某二張量的分量。

•峸蘊麮z(principle of equivalence):
廣義相對蕆的基本假設。認為置身於峊[速座A系中的觀測者,無法以任何物理方法分~究竟是本身在加速抑或置身某重力場中。

•菲次吉拉收縮(Fitzgerald contraction):
根據狹義相對蕆中的洛倫茲變驉A在靜止的觀測者看來,運動中的物體其長度會沿運動方向收縮。收縮因子為(1-v^2/c^2)^0.5,其中v為物體相對於靜止觀測者的速度,c為真空光速。由此可見物體運動愈快,產生的菲氏收縮愈多,但由於收縮量很小,因此只有在物體踇近光速時才較明顯。

•黑洞(black hole):
廣義相對蕆預測的一掔特殊天體,其特徵為具有封閉的「視界」,也就是黑洞的邊界。外界的物質或輻射可以進入這個視界,但是若不考慮量子效R,視界內的物質與輻射不可能跑出來。就天文的角度而言,黑洞是某些恆星演化的瘥腹A如今幾乎已能確定黑洞的存在。

•電磁感R(electromagnetic induction):
變動的磁場產生電場的現象。一八三一年,法拉第首先提出電磁感R的個例子,例如磁體與線圈的相對運動會在線圈中感R出電流。

•慣性座A系(慣性參照系)(inertial frame):
為A定事件發生的時刻與位置而選取的時間座A與空間座A稱為(參考)座A系。若在某一座A系中,不受外力的物體必保持靜止或做帠t度運動,此座A系就屬於慣性座A系。

•慣性質量(inertial mass):
在古典物理中,質量具有兩掔表徵,其中牛頓第二運動定律(作用力正比於質量及加速度)所描述之質量稱為「慣性質量」。

•廣義相對蕆(general theory of relativity):
愛因斯坦於一九一五、六年間所發表的理蕆,將狹義相對蕆的慣性座A系推廣到非慣性座A系(例如旋座A系、重力場中的座A系)。主要內容是將重力釋成彎曲時空中的幾何齛c,從而黯出比牛頓重力定律更精確的重力理蕆。廣義相對蕆已通過項證,如今是天體物理與宇宙的基本工具。

•質能懌係(energy-mass relation):
即愛因斯坦黯出的著名公式E=mc^2(能量峏騣頞q乘以光速的平方),指出能量與質量為一體的兩面。

•質量(mass):
粒子M帶的一掔基本物理量,是重力場的發射源(由牛頓重力定律或廣義相對蕆描述),亦是慣性的來源(由牛頓第二運動定律描述)。

•黎曼幾何(Riemannian geometry):
黎曼將曲面微分幾何推廣至N維流形而發展出的幾何。其中N維流形擁有一個度量「無限小長度平方」的二次式(可視為雂顝w理的推廣),由此即可定義長度、角度、曲率帤X何量,進而研究這個N維流形的各掔性質,而不需要將它嵌入(N+1)維空間中。

•靜質量(rest mass):
亦稱靜止質量。對靜止於某座A系的質點而言,在此座A系中測得的質量稱為其靜質量。根據狹義相對蕆,運動中質點的質量會隨著速度增加。

•臆想(Gedanken experiment):
亦稱想粻。為釋或檢某一理蕆,理蕆物理家常根據現有知識設計一些紙上,作為具體的蕆證對象,此即所謂臆想。臆想之目的不在求得鶞G,而在檢一個理蕆的正誤。

 

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